题目

已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1. (1)求曲线C的方程. (2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由. 答案： 【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等. 所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y. (2)(方法一)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=,所以y′=,所以=,解得:x0=a±,所以A, B,化简直线AB方程得: y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2). （2）方法（二）设E(a,-2) 过A点的切线方程为 因为切线过点E（a,-2）代入切线得：整理得 是方程两根 所以AB的中点为 所以直线AB的方程为化简得 所以 直线AB过定点（0，2）

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