题目

如图，三棱锥P―ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。    （1）求证：AB⊥平面PCB；    （2）求二面角C―PA―B的大小的余弦值。 答案： （1）证明： ∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC， ∴PC⊥AB。                                                                          ∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB， ∴CD⊥AB。                                                                          又PC∩CD=C， ∴AB⊥平面PCB。                    （2）解法一： 取AB的中点E，连结CE、DE。 ∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE= ∵CD⊥平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。 ∴∠CED为二面角C―PA―B的平面角。 由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC， 又∵AB=BC，AC=2，求得BC= 在                                                     在                                                                             （2）解法二： ∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）。 设平面PAB的法向量为 得 设平面PAC的法向量为， 解得                                                                                                                                   （2）解法三： ∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量。 取AC中点F，∵AB=BC=，∴BF⊥AC， 又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC， ∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量。                                                                                                                                                           

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