题目

如图， 是 的外接圆，点 E 是 的内心， AE 的延长线交 BC 于点 F ，交 于点 D ，连接 BD ， BE ． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若 ， ，求 DB 的长． 答案： （ 1 ）证明过程见详解 ; （ 2 ） DB =6. 【分析】 （ 1 ）根据三角形的内心得到 ∠ ABE =∠ CBE ， ∠ BAE =∠ CAD ，根据圆周角定理推论得到 ∠ DBC =∠ CAD ，结合三角形的外角性质，进而根据 “ 等角对等边 ” 证明结论； （ 2 ）通过证明 △DBF∽△DAB ，利用对应边成比例求解即可． 【详解】 解：（ 1 ）证明： ∵ E 是 △ ABC 的内心， ∴ AD 平分 ∠BAC ， BE 平分 ∠ ABC ， ∴∠ ABE =∠ CBE ， ∠ BAE =∠ CAD ， 根据圆周角定理推论，可知 ∠ DBC =∠ CAD ， ∴∠ DBC =∠ BAE ， ∵∠ DBE =∠ CBE +∠ DBC ， ∠ DEB =∠ ABE +∠ BAE ， ∴∠ DBE =∠ DEB ， ∴ DE = DB ； （ 2 ）由（ 1 ）知 ∠ DAB =∠ CAD ， ∠ DBF =∠ CAD, ∴∠ DBF =∠ DAB. ∵∠ D =∠ D ， ∴△DBF∽△DAB. ∴ , ∵ DE = DB ， ∴ , ∵ ， ， ∴ , ∴ . 【点睛】 本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理 . 关键是正确理解三角形的内心定义．

查看本题答案和解析