题目

已知抛物线，的焦点为，过点的直线的斜率为，与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，两条切线的交点为． （1）证明：； （2）若的外接圆与抛物线有四个不同的交点，求直线的斜率的取值范围． 答案：（1）证明见解析（2）或 【解析】 【分析】 （1）联立直线与抛物线的方程，利用根于系数关系，结合斜率表达式求得即可； （2）由（1）可知，圆是以为直径的圆且圆的方程可化简为，联立圆与抛物线的方程得到，圆与抛物线有四个不同的交点等价于 【详解】 解：（1）证明：依题意有，直线， 设，，，，直线与抛物线相交， 联立方程消去，化简得， 所以，． 又因为，所以直线的斜率． 同理，直线的斜率， 所以，， 所以，直线，即． （2）由（1）可知，圆是以为直径的圆， 设是圆上的一点，则， 所以，圆的方程为， 又因为， 所以，圆的方程可化简为， 联立圆与抛物线得 消去，得， 即，即， 若方程与方程有相同的实数根， 则，矛盾， 所以，方程与方程没有相同的实数根， 所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于， 综上所述，． 【点睛】 本题考查抛物线的切线位置关系，考查抛物线与三角形外接圆交点个数问题，属于中档题．

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