题目

如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为． （Ⅰ）求证：平面． （Ⅱ）求二面角的余弦值． （Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论． 答案：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴    …………1分   又∵是正方形， ∴，…………2分 ∵，∴平面．…………3分 （Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系， ∵与平面所成角为，即 …………4分 ∴ 由，可知：，． 则，，，，， ∴，，…………6分 设平面的法向量为，则，即，令，则． 因为平面，所以为平面的法向量，∴， 所以． 因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．…………9分 （Ⅲ）依题意得，设，则， ∵平面，∴，即，解得：， ∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点． ……12分

查看本题答案和解析