题目

如图，已知线段 ，垂足为 a ． （ 1 ）求作四边形 ，使得点 B ， D 分别在射线 上，且 ， ， ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （ 2 ）设 P ， Q 分别为（ 1 ）中四边形 的边 的中点，求证：直线 相交于同一点． 答案： （ 1 ）作图见解析；（ 2 ）证明见解析 【分析】 （ 1 ）根据 ，点 B 在射线 上，过点 A 作 ；根据等边三角形性质，得 ，分别过点 A 、 B ， 为半径画圆弧，交点即为点 C ；再根据等边三角形的性质作 CD ，即可得到答案； （ 2 ）设直线 与 相交于点 S 、直线 与 相交于点 ，根据平行线和相似三角形的性质，得 ，从而得 ，即可完成证明． 【详解】 （ 1 ）作图如下： 四边形 是所求作的四边形； （ 2 ）设直线 与 相交于点 S ， ∵ ， ∴ ， ∴ 设直线 与 相交于点 ， 同理 ． ∵ P ， Q 分别为 的中点， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点 S 与 重合，即三条直线 相交于同一点． 【点睛】 本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．

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