题目

为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元， 5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元． （ 1 ）这两种消毒液的单价各是多少元？ （ 2 ）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的 ，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 答案： （ 1 ） 种消毒液的单价是 7 元， 型消毒液的单价是 9 元；（ 2 ）购进 种消毒液 67 瓶，购进 种 23 瓶，最少费用为 676 元 【分析】 （ 1 ）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可； （ 2 ）利用由（ 1 ）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案． 【详解】 解：（ 1 ）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元． 由题意得： ，解之得， ， 答： 种消毒液的单价是 7 元， 型消毒液的单价是 9 元． （ 2 ）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元． 则 ， ∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值． 又 ， ∴ ． 由于 是整数， 最大值为 67 ， 即当 时，最省钱，最少费用为 元． 此时， ． 最省钱的购买方案是购进 种消毒液 67 瓶，购进 种 23 瓶． 【点睛】 本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．

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