题目

已知平面上的三点 、 、 . （1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程； （2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程. 答案：（1） （2）. 【解析】(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出，从而可得，进而可得椭圆的标准方程；（2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 .设所求双曲线的标准方程为  （  ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得，得，从而可得，进而可得 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程. 试题解析：（1）由题意知，焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 （ ） 其半焦距 由椭圆定义得     ∴ ∴ 故椭圆的标准方程为 . （2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 .设所求双曲线的标准方程为  （  ， ）其半焦距 ， 由双曲线定义得    ∴ ，∴ ， 故所求的双曲线的标准方程为 .

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