题目

如图，在矩形 中， ，点 E ， F 分别在边 上，且 ，按以下步骤操作：第一步，沿直线 翻折，点 A 的对应点 恰好落在对角线 上，点 B 的对应点为 ，则线段 的长为 _______ ；第二步，分别在 上取点 M ， N ，沿直线 继续翻折，使点 F 与点 E 重合，则线段 的长为 _______ ． 答案： 1 【分析】 第一步：设 EF 与 AA’ 交于点 O ，连接 AF ，易证明 △ AOE △ ADC ，利用对应边成比例可得到 OA =2 OE ，由勾股定理可求出 OE = ，从而求得 OA 及 OC ；由 AD ∥ BC ，易得 △ AOE ∽△ COF ，由对应边成比例可得 AE 、 FC 的关系式，设 BF = x ，则 FC =8- x ，由关系式可求得 x 的值； 第二步：连接 NE ， NF ，根据折叠的性质，得到 NF = NE ，设 B’N = m ，分别在 Rt △ 和 Rt △ 中，利用勾股定理及 NF = NE 建立方程，可求得 m ，最后得出结果． 【详解】 如图所示，连接 AF ， 设 EF 与 AA’ 交于点 O ，由折叠的性质得到 AA’ ⊥ EF ， ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴∠ ADC =90° ， CD = AB =4 ， AD ∥ BC ∵∠ AOE =∠ ADC ， ∠ OAE =∠ DAC ∴△ AOE △ ADC ， ∴ ， ∴ OA =2 OE ， 在直角 △ AOE 中，由勾股定理得： ， ∴ OE = ， ∴ OA = ， 在 Rt △ ADC 中，由勾股定理得到： AC = ， ∴ OC = ， 令 BF = x ，则 FC =8- x ， ∵ AD ∥ BC ， ∴△ AOE ∽△ COF ， ∴ ， 即 7 AE =3 FC ∴3(8- x )=7×3 解得： , ∴ 的长为 1 ． 连接 NE ， NF ，如图， 根据折叠性质得： BF = B’F =1 ， MN ⊥ EF ， NF = NE ， 设 B’N = m ， 则 ， 解得： m =3 ，则 NF = ， ∵ EF = ， ∴ MF = ， ∴ MN = ， 故答案为： 1 ， ． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．

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