题目

已知函数（为常数），方程有两个实根3和4， （1）求的解析式； （2）设，解关于x的不等式； （3）已知函数是偶函数，且在上单调递增，若不等式在任意上恒成立，求实数m的取值范围. 答案：（1）（2）答案不唯一，见解析；（3） 【解析】 （1）根据题意，方程f（x）﹣x+12＝0即（1﹣a）x2+（12a﹣b）x+12b＝0的两根为3和4，由根与系数的关系分析可得有，解可得a、b的值，即可得到答案； （2）根据题意，原不等式变形可得f（x），分情况讨论k的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案； （3）根据题意，由函数奇偶性与单调性的性质可得g（mx+1）≤g（x﹣2）⇒|mx+1|≤|x﹣2|，x∈；进而变形可得对于任给x∈上恒成立，据此分析可得答案． 【详解】（1）由即 ， 即（1﹣a）x2+（12a﹣b）x+12b＝0两根为3和4， ，即.    故 （2）由即 1°当时，解集 2°当时，解集 3°当时，解集 （3）由于g（x）为偶函数且在（0，+∞）上递增， g（mx+1）≤g（x﹣2）⇒|mx+1|≤|x﹣2|，x∈； 则有，变形可得， 即有，对于任给x∈上恒成立， 对于y，有＝y|x＝1＝0，则有m≤0， 对于y，有＝y|x＝1＝﹣2，则有m≥﹣2， 故﹣2≤m≤0，即m的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，考查转化思想与计算能力，属于综合题．

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