题目

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4． （Ⅰ）求证：BD⊥PC； （Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值． 答案：证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4）， ∴，， ∴ 所以PC⊥BD． （Ⅱ）由（1）知PC⊥BD，且PA⊥平面ABCD，显然, ​易证为面PAC的法向量， 设面PBC的法向量=（a，b，c）， 所以⇒ 所以面PBC的法向量=（6，4，1）， ∴cosθ=-． 因为面PAC和面PBC所成的角为锐角， 所以二面角B-PC-A的余弦值为​．

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