题目

如图，抛物线 与 轴交于除原点 和点 ，且其顶点 关于 轴的对称点坐标为 ． （ 1 ）求抛物线的函数表达式； （ 2 ）抛物线的对称轴上存在定点 ，使得抛物线 上的任意一点 到定点 的距离与点 到直线 的距离总相等． ① 证明上述结论并求出点 的坐标； ② 过点 的直线 与抛物线 交于 两点．证明：当直线 绕点 旋转时， 是定值，并求出该定值； （ 3 ）点 是该抛物线上的一点，在 轴， 轴上分别找点 ，使四边形 周长最小，直接写出 的坐标． 答案： （ 1 ） ；（ 2 ） ； ，证明见解析（ 3 ） ， 【分析】 （ 1 ）先求出顶点 的坐标为 ，在设抛物线的解析式为 ，根据抛物线过原点，即可求出其解析式； （ 2 ） 设点 坐标为 ，点 坐标为 ，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系； 设直线 的解析式为 ，直线 与抛物线交于点 ，直线方程与抛物线联立得出 ，在结合 的结论，分别表示出 的值，即可求解； （ 3 ）先求出点 的坐标，分别作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则点 即为所求 【详解】 解：（ 1 ） 点 B 关于 轴对称点的坐标为 点 的坐标为 设抛物线的解析式为 抛物点过原点 解得 抛物线解析式为： 即 （ 2 ） 设点 坐标为 ，点 坐标为 由题意可得： 整理得： 点 的坐标为 设直线 的解析式为 ，直线 与抛物线交于点 整理得： 由 得 整理得： （ 3 ） 点 在抛物线 上， 如图：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 则点 ，点 ，连接 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则此时四边形 PQBC 周长最小 设直线 的解析式为 解得 直线 的解析式为 点 坐标为 ，点 坐标为 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强

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