题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=，△PQR与△ABC重叠部分的面积为，连接RB． （1）当=2时，求的值； （2）当取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当取何值时，四边形AQRB是平行四边形．   答案：解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°， ∴QP=AP=1． 此时△PQR在△ABC内，y=S△PQR=． …………………………………………3分 （2）∵四边形AQRB是等腰梯形，∴BR=AQ， ∠PBR=∠A=30°． ∵∠APQ=∠RPQ=60°， ∴∠BPR=60°． 又∵PR=PQ， ∴△BPR≌△APQ． ∴BP=AP=．∴AP==5． ∴当=5时，四边形AQRB是等腰梯形． …………………………………………6分 要使四边形PQRB是平行四边形，则R应在BC上． ∵△PQR是等边三角形，∴QR=PQ=． 又∵四边形PQRB是平行四边形，∴BP=QR=． ∴AB=+=10，解得． ∴当时，四边形PQRB是平行四边形．……………………………………10分 【相关知识点】直角三角形的性质；平行四边形的性质；等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；一元一次方程 【解题思路】本题是一道综合题，涉及的知识点比较多．第（1）问比较简单，根据在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以直接求出的值；第（2）问从特殊四边形的结论出发，去找的取值，用到了等腰梯形的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质以及方程等知识.

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