1.2 空间向量在立体几何中的应用知识点题库

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= $\text{[math]}$ ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= $\text{[math]}$ ．

（1）求证：AB⊥PC；
（2）求二面角B一PC﹣D的余弦值．

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD= $\text{[math]}$ ，三棱锥P﹣ABD的体积V= $\text{[math]}$ ，求A到平面PBC的距离．

如图，已知斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．

（1）求证：BC⊥AB₁；
（2）若AB=2，AB₁= $\text{[math]}$ ，求二面角C﹣AB₁﹣C₁（锐角）的余弦值．

如图，ABC﹣A₁B₁C₁是底面边长为2，高为 $\text{[math]}$ 的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．、

（1）证明：PQ∥A₁B₁；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求点C到平面APQB的距离．

如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．

（1）求证：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．

已知正方体AC₁的棱长为1，点P是面AA₁D₁D的中心，点Q是面A₁B₁C₁D₁的对角线B₁D₁上一点，且PQ∥平面AA₁B₁B，则线段PQ的长为．

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，AM=3．

（1）求证：AC⊥BN；
（2）求证：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M﹣BC﹣A的大小．

已知A，B，C三点都在体积为 $\text{[math]}$ 的球O的表面上，若 $\text{[math]}$ ，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为．

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折起，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如下图（左1）已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，如下图（右1）所示．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 为正三角形，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点。

（I）求证 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（II）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值。

如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，棱BB₁长为 $\text{[math]}$ ，连接BD交AC于O，连接B₁O，则B₁O与底面ABC所成角的大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知多面体ABC-A₁B₁C₁ ， A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．

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（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )

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A . ①② B . ①②③ C . ① D . ②③

如图所示， $\text{[math]}$ 是二面角 $\text{[math]}$ 棱上的一点，分别在 $\text{[math]}$ 平面内引射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，设二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

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A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图所示，正方形 $\text{[math]}$ 所在的平面与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面垂直， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值．

如图所示，多面体ABCDEF中， $\text{[math]}$ 平面ABCD ，四边形ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形BDEF是正方形．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面AED；
（2）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（3）在线段EC上是否存在点P ，使得 $\text{[math]}$ 平面CEF？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为直角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将三角形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起至 $\text{[math]}$ .

（1）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若二面角 $\text{[math]}$ 为30°，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.