备考2024年中考数学重难创新题5 圆的综合题

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

已知：△ABC（如图），

（1）求作：作△ABC的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．
（2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数.

（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．

发现：

（1）若干平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件．

（2）我们判断四个点A，B，C，D（任意其中个三点不共线）是否在同一圆上时，一般地，先作过A，B，C三点的圆，然后判断点D是否在这个圆上，如果在，则这四个点共圆，如果不在，则不存在同时过这四个点的圆．

思考：

（1）如图1，∠ACB=∠ADB=90°，那么点A，B，C，D四点在不在同一个圆上；

（2）如图2，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°），（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？芳芳已经证明了点D不在圆内（如图所示），只要能够证明点D也不再圆外，就可以判断点D一定在圆上了，请你完成证明过程．

芳芳的证明过程：

如图3，过A，B，C三点作圆，圆心为O．假设点D在⊙O内，设AD的延长线交⊙O于点P，连接BP．易得∠APB=∠ACB．又由∠ADB是△BPD的外交，得到∠ADB＞∠APB，因此∠ADB＞∠ACB，这个结论与条件中的∠ACB=∠ADB矛盾，所以点D不在圆内．

应用：

如图4，在四边形ABCD中，连接AC，BD，∠CAD=∠CBD=90°，点P在CA的延长线上，连接DP．若∠ADP=∠ABD．求证：DP为Rt△ACD的外接圆的切线．

在Rt△ABC中，∠C=90°．

（1）用尺规作图作Rt△ABC的重心P．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离？并请你说明理由．

①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；

②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.

如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答。

根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．

证明：连接 ， ．

∵ 为 的直径，

∴ =∠     ▲      =  ▲   º

（  ▲   ）（填推理的依据）．

∴ ，  ▲   ．

∵ ， 为 的半径，

∴直线 ， 为 的切线（  ▲   ）（填推理的依据）．

尺规作图：过圆外一点作圆的切线．

已知： 为 外一点．

求作：经过点 的 的切线．

小敏的作法如下：

①连接 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ；

②以点 为圆心， 的长为半径作圆，交 于 两点；

③作直线 ．所以直线 就是所求作的切线．

根据小敏设计的尺规作图过程．