题目

已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； （2） 若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域. 答案： 解：f(x)=2−cos2(x+π3)−sin2x=2−cos2(x+π3)+12−1−cos2x2=2−cos2xcos2π3−sin2xsin2π3+12−1−cos2x2=2−−12cos2x−32sin2x+12−1−cos2x2=2−−12cos2x−32sin2x+12−1−cos2x2=34cos2x+34sin2x+1=32(32cos2x+12sin2x)+1=32sin(2x+π3)+1，即f(x)=32sin(2x+π3)+1，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z. 解：因为g(x)=f(x+φ)=32sin[2(x+φ)+π3]+1=32sin(2x+2φ+π3)+1，又g(x)的图像关于点(π2，1)中心对称，所以π+2φ+π3=kπ，k∈Z，解得φ=−2π3+12kπ，k∈Z，因为0<φ<π2，所以φ=π3，所以g(x)=32sin(2x+π)+1=−32sin2x+1，当x∈[π6，π3]时2x∈[π3，2π3]，所以sin2x∈[32，1]，所以g(x)∈[1−32，14].

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