题目

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点 ， 直线与轴、轴分别交于点、点 ， 与相交于点 ， 线段 ， 的长是一元二次方程的两根（）， ， . （1） 求点、点的坐标；  （2） 求直线的解析式；  （3） 在轴上是否存在一点 ， 使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：解方程x2−18x+72=0得，x1=6，x2=12，∵ OA>OC，∴OA=12，OC=6，∴A(12，0)，C(−6，0) 解：作EF⊥y于F∵BE=5，OB=43OA，∴OB=43×12=16，∴AB=OA2+OB2=20∵EF∥OA∴△BEF∽△BAO，∴EFAO=BFBO=BEBA，即EF12=BF16=520∴EF=3，BF=4，OF=16−4=12，∴E(3，12)设直线CD的解析式为y=kx+b∴{−6k+b=03k+b=12，解得{k=43b=8∴设直线CD的解析式为y=43x+8 解：存在满足条件的点P使得点C、E、P为顶点的三角形与ΔDCO相似，由题意可得：D(0，8)，CE=(3+6)2+122=15，CD=62+82=10∵∠COD=90°，∠DCO=∠ECP当∠EPC=90°时，△COD∽△CPE，此时P(3，0)当∠CEP=90°时，△COD∽△CEP则OCCE=CDCP，即615=10CP，解得CP=25OP=CP−OC=19∴P(19，0)综上，P(3，0)或P(19，0)

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