题目

已知函数与有相同的最大值（其中e为自然对数的底数）． （1） 求实数的值； （2） 证明： ， 都有； （3） 若直线与曲线有两个不同的交点 ， ， 求证： ． 答案： 解：当x=0时，g(0)=0，当x≠0时，g(x)=2x+1x，又x+1x≤−2或x+1x≥2，所以−1≤g(x)<0或0<g(x)≤1，综上所述g(x)∈[−1，1]，即g(x)max=1，则f(x)max=1，又f′(x)=ae1−x(1−x)，由题意易知a≠0，当a<0时，当x<1时f′(x)<0，当x>1时f′(x)>0，即函数f(x)在区间(−∞，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，无最大值，不满足题意；当a>0时，当x<1时f′(x)>0，当x>1时f′(x)<0，即函数f(x)在区间(−∞，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，f(x)max=f(1)=a=1； 证明：要证∀x∈[0，1]，都有f(x)≥g(x)，即证xe1−x≥2xx2+1，当x=0，明显成立，当0<x≤1时，xe1−x≥2xx2+1⇒x2+1−2ex−1≥0，记h(x)=x2+1−2ex−1，0<x≤1，则h′(x)=2x−2ex−1，0<x≤1，记m(x)=2x−2ex−1，0<x≤1，则m′(x)=2−2ex−1≥0恒成立，所以m(x)在区间(0，1]上单调递增，又m(1)=0，所以h′(x)=m(x)≤0恒成立，所以h(x)在区间(0，1]上单调递减，又h(1)=0，所以h(x)≥0恒成立，所以∀x∈[0，1]，都有f(x)≥g(x)； 证明：由（2）知∀x∈[0，1]，都有f(x)≥g(x)，当x≥1时，m′(x)=2−2ex−1≤0恒成立，所以m(x)在区间[1，+∞)上单调递减，又m(1)=0，所以h′(x)=m(x)≤0恒成立，所以h(x)在区间[1，+∞)上单调递减，又h(1)=0，所以h(x)≤0恒成立，即∀x∈[1，+∞)，都有f(x)≤g(x)，由（1）知函数f(x)在区间(−∞，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，且f(0)=0，f(1)=1，又当x>0时，f(x)>0恒成立，直线y=m与曲线y=g(x)有两个交点，这两个交点必在第一象限，且0<m<1，记直线y=m与曲线y=g(x)的两个交点的横坐标为0<x3<1<x4，不妨设0<x1<1<x2，由题意可知，m=f(x1)=g(x3)，又f(x3)>g(x3)，所以f(x1)<f(x3)，因为y=f(x)在[0，1]上单调递增，所以x1<x3同理可得x2<x4，于是x1+x2<x3+x4，而x3、x4是方程2xx2+1=m的两根，即方程mx2−2x+m=0的两根，所以x3+x4=2m，所以x1+x2<2m.

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