题目

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ， 且. （1） 求角C的大小； （2） 若D为AB的中点，且 ， 求的周长. 答案： 解：因为cosA+cosCsinB=sinB+sinAcosA−cosC，所以(cosA+cosC)(cosA−cosC)=sinB(sinB+sinA)，所以cos2A−cos2C=(1−sin2A)−(1−sin2C)=sin2B+sinAsinB，所以−sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinB.结合正弦定理可得−a2+c2=b2+ab，即a2+b2−c2=−ab，所以cosC=a2+b2−c22ab=−12.因为C∈(0，π)，所以C=2π3. 解：因为CA→+CB→=2CD→，所以(CA→+CB→)2=4CD→2，所以CA→2+CB→2+2CA→⋅CB→=4CD→2，因为D为AB的中点，且CD=2，C=2π3，所以b2+a2+2abcos2π3=8，即b2+a2−ab=8.由余弦定理有a2+b2−c2=−ab，又c=23，所以ab=2.因为a2+b2=−ab+c2=10，所以(a+b)2=14，所以a+b=14.故△ABC的周长为14+23.

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