题目

已知函数有两个零点. （1） 求的取值范围； （2） 证明：. 答案： 解：由题意知，f(x)的定义域为(0，+∞)，函数f(x)=lnx−mx+2有两个零点x1，x2即lnx−mx+2=0有两个根，等价于方程lnx+2x=m有两个根.设g(x)=lnx+2x，即g(x)=lnx+2x的图像与直线y=m有两个交点.因为g′(x)=−lnx−1x2，所以g(x)在(0，1e)上单调递增，在(1e，+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1e)=e，当x>0，x趋近0时，g(x)趋近负无穷大，当x趋近正无穷大时，g(x)>0，g(x)趋近0，由图可知，m的取值范围是(0，e). 证明：由（1）知方程lnx+2x=m的两个根分别为x1，x2，则lnx1+2x1=lnx2+2x2.令t1=1x1，t2=1x2，则2t1−t1lnt1=2t2−t2lnt2，设t1<t2，h(t)=2t−tlnt，则h′(t)=1−lnt，当0<t<e时，h′(t)>0，当t>e时，h′(t)<0，故h(t)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，且h(t1)=h(t2)，故0<t1<e<t2.设H(t)=h(t)−h(2e−t)(0<t<e)，则H′(t)=h′(t)+h′(2e−t)，因为H′(t)=1−lnt+[1−ln(2e−t)]=2−ln(−t2+2et)>2−ln(−e2+2e2)=0，所以H(t)在(0，e)上单调递增，所以H(t1)<H(e)=0，即h(t1)<h(2e−t1)，从而h(t2)<h(2e−t1).因为0<t1<e<t2，所以2e−t1>e，又h(t)在(e，+∞)上单调递减，所以t2>2e−t1，即t1+t2>2e，所以1x1+1x2>2e.

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