题目

已知函数是的导函数，且 （1） 判断在上的单调性，并说明理由； （2） 判断函数在内的零点个数，并说明理由. 答案： 解：f(x)在(0，π)上单调递增，理由如下：f′(x)=2acosx+eπ−x，故由f′(π)=−2a+1=0得a=12，所以f(x)=sinx−eπ−x+1，f′(x)=cosx+eπ−x，当x∈(0，π)时，f′(x)>1+cosx>0，所以f(x)在(0，π)上单调递增. 解：f(x)在[(2k+1)π，(2k+2)π](k∈N*)内有两个零点，理由如下：令g(x)=f′(x)，h(x)=g′(x)，则g′(x)=−sinx−eπ−x，h′(x)=−cosx+eπ−x，故h′(x)在[(2k+1)π，(2k+2)π]上单调递减，注意到h′((2k+1)π)=1+e−2kπ>0，h′((2k+2)π)=−1+e−π−2kπ<0，所以存在位于的x0∈((2k+1)π，(2k+2)π)使h′(x0)=0且当(2k+1)π≤x<x0时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x0<x≤(2k+2)π时，h′(x)<0，h(x)单调递减；且h((2k+1)π)=−e−2kπ<0，h((2k+2)π)=−e−π−2kπ<0，h((2k+32)π)=1−e−π2−2kπ>0，所以g′(x)=h(x)在((2k+1)π，(2k+32)π)和((2k+32)π，(2k+2)π)上各有一个零点x1，x2，且当(2k+1)π≤x<x1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x1<x<x2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x2<x≤(2k+2)π时，g′(x)<0，g(x)单调递减；且g((2k+1)π)=−1+e−2kπ<0，g((2k+2)π)=1+e−π−2kπ>0，所以当(2k+1)π≤x≤x1时，g(x)<g((2k+1)π)<0；当x2<x≤(2k+2)π时，g(x)>g((2k+2)π)>0；所以f′(x)=g(x)在(x1，x2)上有唯一的零点x3，且当(2k+1)π<x<x3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x3<x<(2k+2)π时，f′(x)>0，f(x)单调递增；注意到f((2k+1)π)=−e−2kπ+1>0，f((2k+2)π)=−e−π−2kπ+1>0，f((2k+32)π)=−e−π2−2kπ<0，所以f(x)在((2k+1)π，(2k+32)π)和((2k+32)π，(2k+2)π)上各有一个零点x4，x5，故f(x)共两个零点.

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