题目

已知函数 在 上有零点 ，其中 是自然对数的底数. （1） 求实数 的取值范围； （2） 记 是函数 的导函数，证明： . 答案： 求导 f'(x)=ex−a ， 当 a≤0 时， f'(x)>0 时， ∴ f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， f(x)>f(0)=0 ，无零点，不符合题意； 当 a>0 时，由 f'(x)=ex−a=0 ，得 x=lna ， 若 lna≤0 ，即 0<a≤1 ，此时 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，不符合题意； 若 lna>0 ，即 a>1 ，∴ f(x) 在 (0，lna) 上单调递减， f(x) 在 (lna，+∞) 上单调递增， ∵ f(0)=0 ，∴ ∃x1>0 ，使得 f(x1)<f(0)=0 ，而当 x→+∞ 时， f(x)→+∞ 时， ∴ ∃x2>x1 ，使得 f(x2)>0 ， 根据零点存在定理， ∃x0∈[x1，x2] ，使得 f(x0)=0 ，符合题意； 综上所述，实数 a 的取值范围是 a>1 . ∵ g(x)=f'(x)=ex−a ， ∴ g(x0)<a(a−1)⇔x0<2lna ， 由（Ⅰ）知 x0∈(lna，+∞) 且 f(x) 在 (0，lna) 上单调递减，在 (lna，+∞) 上单调递增， 故只要证明： f(2lna)>0 ， 即 f(2lna)=a2−2alna−1=a(a−2lna−1a)>0 ， a>1 ， 设 h(x)=x−2lnx−1x(x>1) ，则 h'(x)=1−2x+1x2=(x−1)2x2>0 ， ∴ h(x) 在 (1，+∞) 上单调递增，即 h(x)>h(1)=0 ，∴ f(2lna)>0 成立； 综上所述， g(x0)<a(a−1) 成立.

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