题目

请阅读下列材料： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2） （1） 若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算： 的值； （2） 若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算： 的值； （3） 若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想： 的值，并给出证明． 答案： 解：AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C， ∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，∴Q与A重合，R与C重合．∵OP=1，AC=4，∴PQ=1，PR=3，∴ + =1+ = ． 解：连接OA， ∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，∴∠OAP=30°．∴AP= ．∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，∴OA∥PQ，∠PQA=90°．∴∠APQ=∠OAP=30°．在Rt△AQP中，PQ= ，同理，PR= ，∴ 解：猜想 ． 证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，∴∠ECA=90°．∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，∴AE∥PQ且∠PQA=90°．∴∠EAC=∠APQ．∴△AEC∽△PAQ．∴ ①同理可得： ②①+②，得： + = + ∴ = （ ）= • = ．过P作直径交⊙O于M，N，根据阅读材料可知：AP•PC=PM•PN=3，∴ = ．

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