题目

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1 ． （1） 证明：CD⊥AB1； （2） 若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值． 答案： 证明：∵D是矩形AA1的中点，∴AD= 12 AA1= 2∴ ADAB=ABBB1 = 22 ，∴△DAB∽△ABB1，∴∠ABD=∠AB1B，∵∠BAB1+∠AB1B=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，∴BD⊥AB1．∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴CO⊥AB1，又CO⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，CO∩BD=O，∴AB1⊥平面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴CD⊥AB1 解：以O为原点，以OD，OB1，OC为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，﹣ 233 ，0），B（﹣ 263 ，0，0），C（0，0， 233 ），D（ 63 ，0，0）．∴ CD→ =（ 63 ，0，﹣ 233 ）， AB→ =（﹣ 263 ， 233 ，0）， AC→ =（0， 233 ， 233 ）．设平面ABC的法向量为 n→ =（x，y，z），则 {n→⋅AB→=0n→⋅AC→=0 ，即 {−63x+33y=033y+33z=0 ，令x=1得 n→ =（1， 2 ，﹣ 2 ）．∴ n→⋅CD→ = 6 ，∴cos＜ n→，CD→ ＞= n→⋅CD→|n→||CD→| = 155 ．∴直线CD与平面ABC所成角的正弦值为 155 ．

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