题目

在平面直角坐标系xOy中， ， 两点在抛物线上，记该抛物线顶点为M． （1） 若点也在该抛物线上，且 ， 求该抛物线的解析式及m与n的值； （2） 已知点 ， ， 在该抛物线上．若 ， 比较 ， ， ， 的大小，并说明理由． 答案： 解：∵抛物线过A(1，m)和B(−3，m)，∴m=a+b，m=9a−3b，AB=4．∴a+b=9a−3b．∴b=2a．∴抛物线对称轴为x=−b2a=−1，抛物线的解析式为y=ax2+2ax，m=3a．∴A(1，3a)，B(−3，3a)．∵M是抛物线的顶点，C(3，n)，∴当x=-1时，y=a×(−1)2+2a×(−1)=−a，n=a×32+2a×3=15a．∴M(−1，−a)，C(3，15a)．∴S△ABC=12AB⋅(yC−yA)=24a，S△ABM=12AB⋅(yA−yM)=8a．∴S△ABC−S△ABM=16a．∵S△ABC−S△ABM=8，∴16a=8．解得a=12．∴抛物线的解析式为y=12x2+x，m=32，n=152． 解：y3>y1>y2，理由如下．∵抛物线过A(1，m)和C(3，n)，∴m=a+b，n=9a+3b．∵mn<0，∴(a+b)(9a+3b)<0．∴(a+b)(3a+b)<0．∵a>0，∴a+b<3a+b．∴a+b<0<3a+b．∵点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上，∴y1=a−b，y2=4a+2b，y3=16a+4b．∴y2−y1=3(a+b)<0，y3−y1=5(3a+b)>0．∴y1>y2，y3>y1．∴y3>y1>y2．

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