题目

在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为矩形， 为等边三角形， ， ，点 在 上， ． （1） 求证： ； （2） 求二面角 的正切值． 答案： 解：如图，取 AB 的中点 O ，连接 OD，SO ． 因为 SA=SB ，所以 SO⊥AB ． 因为侧面 SAB⊥ 底面 ABCD ，侧面 SAB∩ 底面 ABCD=AB ， 所以 SO⊥ 底面 ABCD ， CE⊂ 平面 ABCD ，所以 SO⊥CE ． AE=5DE ， DE=36 ， AE=536 ． 在 Rt△DAO 中， tan∠ADO=AOAD=36 ； 在 Rt△CDE 中， tan∠ECD=EDCD=36 ． 所以 ∠ADO=∠ECD ． 因为 ∠ECD+∠CED=90° ， 所以 ∠ADO+∠CED=90° ，即 CE⊥OD ． 又因为 SO∩OD=O ， 所以 CE⊥ 平面 SOD ， SD⊂ 平面 SOD ， 所以 CE⊥SD ． 取 SB 的中点为 M ，连结 AM ， EM ，则 AM⊥SB ． 因为侧面 SAB⊥ 底面 ABCD ，侧面 SAB∩ 底面 ABCD=AB ， 因为 AD⊥AB ，所以 AD⊥ 平面 SAB ． 又因为 SB⊂ 平面 SAB ， 所以 AD⊥SB ， AD∩AM=A ， 所以 SB⊥ 平面 AME ． 又因为 ME⊂ 平面 AME ，所以 SB⊥ME ． 所以 ∠AME 即为二面角 E−SB−A 的平面角． 在 Rt△AME 中， tan∠AME=AEAM=53632=53 ， 所以二面角 E−SB−A 的平面角的正切值为 53 ．

查看本题答案和解析