题目

如图，四棱锥 中，侧棱 垂直于底面 ， ， ， 为 的中点， 平行于 ， 平行于面 ， . （1） 求 的长； （2） 求二面角 的余弦值. 答案： 解：取 PC 的中点 E ，连接 EN 、 ED ， 因为 EN 平行于 BC ， AD 平行于 BC ，所以 EN 平行于 MD ， 所以 M,N,E,D 四点共面， 因为 MN 平行于面 PCD ，面 PCD 与面 MNED 交与 ED ，所以 MN 平行于 ED ， 所以 MNED 为平行四边形. 所以 EN=MD=2 ， BC=2EN=4 . 解：取 BC 中点F，则 AF 垂直于 BC ，因为 AD 平行于 BC ，所以 AF 垂直于 AD ，于是以 A 点为原点， AF 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴建立坐标系， 由 AF 垂直于 AD ， AF 垂直于 AP ，平面 PMD 法向量为 (1,0,0) ， 通过计算得平面 PMN 的法向量为 (65,2,1) .经判断知二面角为钝角，于是其余弦为 −661 .

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