题目

对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 已知 4，6，8， ， 2，4，8， ． Ⅰ 写出 和 的值，并用列举法写出集合 ； Ⅱ 用 表示有限集合M所含元素的个数，求 的最小值； Ⅲ 有多少个集合对 ，满足P， ，且 ？ 答案：解：(Ⅰ) fA(1)=1 , fB(1)=−1 , AΔB={1,6,10,16} . (Ⅱ)根据题意可知：对于集合 C,X , ① a∈C 且 a∉X ,则 Card(CΔ(X∪{a})=Card(CΔX)−1 ; ②若 a∉C 且 a∉X ,则 Card(CΔ(X∪{a})=Card(CΔX)+1 . 所以要使 Card(XΔA)+Card(XΔB) 的值最小,2,4,8一定属于集合 X ;1,6,10,16是否属于 X 不影响 Card(XΔA)+Card(XΔB) 的值;集合 X 不能含有 A∪B 之外的元素. 所以当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card(XΔA)+Card(XΔB) 取到最小值4. (Ⅲ)因为 AΔB={x|fA(x)⋅fB(x)=−1} , 所以 AΔB=BΔA . 由定义可知： fAΔB(x)=fA(x)⋅fB(x) . 所以对任意元素 x , f(AΔB)ΔC(x)=fAΔB(x)⋅fC(x)=fA(x)⋅fB(x)⋅fC(x) , fAΔ(BΔC)(x)=fA(x)⋅fBΔC(x)=fA(x)⋅fB(x)⋅fC(x) . 所以 f(AΔB)ΔC(x)=fAΔ(BΔC)(x) . 所以 (AΔB)ΔC=AΔ(BΔC) . 由 (PΔA)Δ(QΔB)=AΔB 知： (PΔQ)Δ(AΔB)=AΔB . 所以 (PΔQ)Δ(AΔB)Δ(AΔB)=(AΔB)Δ(AΔB) . 所以 PΔQΔ∅=∅ . 所以 PΔQ=∅ ,即 P=Q . 因为 P,Q⊆A∪B , 所以满足题意的集合对 (P,Q) 的个数为 27=128 .

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