题目

在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数， )，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 . （1） 当 时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2） 已知点 ，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定 的取值范围． 答案： 解：当 a=π6 时，直线 l 的参数方程为 {x=−1+tcosπ6,y=1+tsinπ6, ⇒{x=−1+32t,y=1+12t,  . 消去参数t得 x−3y+1+3=0 . 由曲线C的极坐标方程为 ρ2=41+sin2θ . 得 ρ2+(ρsinθ)2=4 ， 将 x2+y2=ρ2 ，及 y=ρsinθ 代入得 x2+2y2=4 ， 即 x24+y22=1 解：由直线 l 的参数方程为 {x=−1+tcosα,y=1+tsinα,  （ t 为参数， 0<α<π ）可知直线 l 是过点P（-1，1）且倾斜角为 α 的直线，又由（1）知曲线C为椭圆 x24+y22=1 ，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内， 将 {x=−1+tcosα,y=1+tsinα,  代入 x24+y22=1 中并整理得 (1+sin2α)t2+2(2sinα−cosα)t−1=0 ， 设A，B两点对应的参数分别为 t1,t2 ， 则 t1⋅t2=−11+sin2α 所以 |PA|⋅|PB|=|t1||t2|=11+sin2α 因为 0<α<π ，所以 sin2α∈(0,1] ， 所以 |PA|⋅|PB|=|t1||t2|=11+sin2α∈[12,1) 所以 |PA|⋅|PB| 的取值范围为 [12,1)

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