题目

已知函数 是奇函数，且函数f（x）的图象过点（1，3）． （1） 求实数a，b值； （2） 用定义证明函数f（x）在 上单调递增； （3） 求函数[1，+∞）上f（x）的值域． 答案： 解：∵函数 f(x)=1+ax2x+b 是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）， ∴ 1+a(−x)2−x+b=−1+ax2x+b ，a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0．又函数图象经过点（1，3），∴ f(1)=1+a1+b=3 ，∵b=0，∴a=2 解：由题意可得 f(x)=1+2x2x=1x+2x ， 任取 x1,x2∈(22,+∞) ，并设x1＜x2，则 f(x1)−f(x2)=(x2−x1)(1−2x1⋅x2)x1⋅x2 ，∵ x1x2∈(22,+∞) 且x1＜x2 ，∴ x2−x1>0,x1⋅x2>12 ，1﹣2x1•x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在 (22,+∞) 上单调递增 解：由（2）知f（x）在 (22,+∞) 上单调递增，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴f（x）在[1，+∞）上的值域为[f（1），+∞），即[3，+∞）

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