题目

已知直线 与椭圆 交于  两点， 与直线 交于点   （1） 证明： 与C相切； （2） 设线段  的中点为  ，且 ,求 的方程. 答案： 证明：由 {x28+y22=1x+2y−4=0  消去 x 整理得 y2−2y+1=0 ， ∵ Δ=4−4=0 ， ∴ l2 与 C 相切． 解：由 {y=kx+2x+2y−4=0  ，得 M 的坐标为 (0,2) . 由 {x28+y22=1y=kx+2  消去 y 整理得 (1+4k2)x2+16kx+8=0 ， 因为直线 l1 与椭圆交于 A,B 两点， 所以 Δ=(16k)2−32(1+4k2)=128k2−32>0 ，解得 k2>14 ． 设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， N(x0,y0) ， 则 x1+x2=−16k1+4k2 ， x1x2=81+4k2 ， 所以 x0=x1+x22=−8k1+4k2 ． ∵ |AB|=|MN| ， 即 1+k2|x1−x2|=1+k2|x0−0| ， ∴ (x1+x2)2−4x1x2=|x0| ， 即 |8k1+4k2|=424k2−11+4k2 ， 解得 k2=12 ，满足 k2>14 ． ∴ k=±22 ， ∴直线 l1 的方程为 y=±22x+2 ．

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