题目

如图，直线y= x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1） 求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标； （2） 在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由； （3） 直线y=kx﹣6与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标． 答案： 解：令y=0代入y= 43 x+4，解得：x=﹣3，∴A（﹣3，0）．令x=0，代入y= 43 x+4，得y=4，∴C（0，4）．设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），把C（0，4）代入上式得，a=﹣ 43 ，∴y=﹣ 43 x2﹣ 83 x+4．∴y=﹣ 43 （x2+2x+1）+ 203 ，∴Q（﹣1， 203 ）． 解：∵点B的坐标为（1，0），取点B关于y轴的对称点B′（﹣1，0），连接CB′，则∠BCO=∠B′CO，∴△BPC的内心在y轴上．设直线B′C的解析式为y=kx+b，将点B′和点C的坐标代入得： {b=4−k+b=0 ，解得：k=4，b=4．∴直线B′C的解析式为y=4x+4，将y=4x+4与y=﹣ 43 x2﹣ 83 x+4联立得： {y=4x+4y=−43x2−83x+4 ，解得： {x=−5y=−16 或 {x=0y=4 （舍去）．∴点P的坐标为（﹣5，﹣16） 解：N（0，﹣6），直线AC的表达式为y= 43 x+4．当△MNC∽△AOC时，∠CMN=90°．∴直线MN的一次项系数为﹣ 34 ．∴MN的解析式为y=﹣ 34 x﹣6．将y= 43 x+4与y=﹣ 34 x﹣6联立，解得： {x=−245y=−145 ，∴点M的坐标为（﹣ 245 ，﹣ 145 ）．②当∠CNM为直角时，MN∥x轴，将y=﹣6代入y= 43 x+4得： 43 x+4=﹣6，解得：x=﹣ 152 ．∴M（﹣ 152 ，﹣6）．综上所述，点M的坐标为（﹣ 245 ，﹣ 145 ）或（﹣ 152 ，﹣6）

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