题目

若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式 ，当-1≤x≤ 1时，代数式 在x=±1时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在-1≤x≤1这个范围内，则称代数式 是-1≤x≤1的“湘一代数式”． （1） 若关于x的代数式 ，当 时，取得的最大值为，最小值为，所以代数式 （填“是”或“不是”） 的“湘一代数式”． （2） 若关于x的代数式 是 的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值． （3） 若关于x的代数式 是 的“湘一代数式”，求m的取值范围． 答案： 【1】3【2】1【3】是 解：∵ −2≤x≤2 ， ∴0≤|x|≤2， ∴ 2≤|x|+2≤4,  ①当a≥0时，x=0时， a|x|+2−1 有最大值为 a2−1 ， x=2或-2时， a|x|+2−1 有最小值为 a4−1, 所以可得不等式组 ∴{a2−1≤2①a4−1≥−2② ， 由①得： a≤6, 由②得： a≥−4, 所以： 0≤a≤6, ②a＜0时，x=0时， a|x|+2−1 有最小值为 a2−1 ， x=2或-2时， a|x|+2−1 的有大值为 a4−1, 所以可得不等式组 ∴{a2−1≥−2①a4−1≤2② ， 由①得： a≥−2, 由②得： a≤12, 所以： −2≤a ＜0， 综上①②可得 −2≤a≤6 ， 所以a的最大值为6，最小值为-2． 解： ∵ |x−2| 是 m≤x≤4 的“湘一代数式”， 当 2≤x≤4 时， |x−2| 的最大值是2, 最小值是0, ∴m≤0,   当 m≤x≤2 时， |x−2|=2−x, 当 x=2 时， |x−2| 取最小值 0, 当 x=m 时， |x−2| 取最大值 2−m ， ∴{m≤02−m≤4   解得： −2≤m≤0, 综上：m的取值范围是： −2≤m≤0.

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