题目

已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解： f′(x)=2−aex ， 当 a≤0 时， f′(x)>0,f(x) 在 R 上单调递增， 当 a>0 时，令 f′(x)=2−aex=0 ，得 x=ln2a ， 则 x<ln2a 时， f′(x)>0,f(x) 单调递增； x>ln2a 时， f′(x)<0,f(x) 单调递减， 综上所述，当 a≤0 时， f(x) 在 R 上单调递增；当 a>0 时， f(x) 在 (−∞,ln2a) 上单调递增，在 (ln2a,+∞) 上单调递减 解：不等式 f(x)>g(x) ，即 aex<x(lnx−x+1) ， 因为 ex>0 ，所以 a<x(lnx−x+1)ex 令 h(x)=x(lnx−x+1)ex=xex⋅(lnxex+1) 令 φ(x)=xex,φ′(x)=1−xex ，则当 x∈(0,1) 时， φ′(x)>0 ，当 x∈(1,+∞) 时， φ′(x)<0 ， φ(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减. 所以 φ(x)≤φ(1) ，即 φ(x)∈(0,1e] ， 令 t=φ(x) ，则 xex⋅(lnxex+1)=t(lnt+1) ， 设 m(t)=t(lnt+1) ，则 m′(t)=lnt+2 . 所以当 t∈(0,1e2) 时， m′(x)<0 ， 当 x∈(1e2,1e) 时， m′(x)>0 ， 所以 m(t) 在 (0,1e2) 上单调递减，在 (1e2,1e) 上单调递增， 所以 m(t)min=m(1e2)=−1e2 .即 h(x) 的最小值为 −1e2 ， 所以实数 a 的取值范围为 (−∞,−1e2)

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