题目

如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面 ， ， . （1） 求证：面 面 ； （2） 过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求三棱锥 的体积. 答案： 证明：因为 ∠BAP=90° ，则 PA⊥AB ， 又侧面 PAB⊥ 底面 ABCD ， 面 PAB∩​ 面 ABCD=AB ， PA⊂ 面 PAB ， 则 PA⊥ 面 ABCD BD⊂ 面 ABCD ，则 PA⊥BD 又因为 ∠BCD=120∘ ， ABCD 为平行四边形， 则 ∠ABC=60∘ ，又 AB=AC 则 ΔABC 为等边三角形，则 ABCD 为菱形， 则 BD⊥AC 又 PA∩​AC=A ，则 BD⊥ 面 PAC ， BD⊂ 面 PBD ，则面 PAC⊥ 面 PBD 解：由平面 AMC 把四面体 P−ACD 分成体积相等的两部分，则 M 为 PB 中点 由 AB=AC=2 ， ∠BCD=120° ，得 BD=23 由 (I) 知 ABCD 为菱形，则 SABCD=12×23×2=23 又由 (I) 知 PA⊥ 面 ABCD ，则 VP−ABCD=13⋅SABCD⋅PA=13⋅23⋅2=433 则 VM−ABCD=13⋅SABCD⋅d=13⋅23⋅1=233 则 VM−PAB=VP−ABCD−VM−ABCD=233

查看本题答案和解析