题目

已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG. （1） 求证：△BCE≌△DCF； （2） OG与BF有什么数量关系？证明你的结论； （3） 若GE·GB＝4－2 ，求正方形ABCD的面积. 答案： 证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°. 在BCE和△DCF中， {BC=DC∠BCE=∠DCFCE=CF  ， ∴△BCE≌△DCF； 解：OG= 12 BF. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC， ∵∠BEC=∠DEG， ∴∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF. ∵BE平分∠DBC， ∴BD=BF，G为DF的中点. ∵O为正方形ABCD的中心， ∴O为BD的中点， ∴OG= 12 BF； 解：设BC=x，则DC=x，BD= 2x ， 由(2)，得BF=BD= 2x . ∴CF=BF−BC= (2−1)x ， 在Rt△DCF中， DF2=DC2+CF2=x2+( 2 −1)2x2， ∵∠GDE=∠GBC=∠GBD，∠DGE=∠BGD=90°， ∴△DGE∽△BGD， ∴ DGGB=GEDG ， 即DG2=GE⋅GB=4−2 2 ， ∵DF=2DG， ∴DF2=4DG2=4(4−2 2 )， 则x2+( 2 −1)2x2=4(4−2 2 ). 解得x2=4. ∴正方形ABCD的面积为4.

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