题目

如图，四棱锥 的底面 为平行四边形， 底面 ， ， ， ， ． （Ⅰ）求四面体 的表面积和体积； （Ⅱ）若 是侧棱 上的一点，且 与底面 所成的是为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 答案：解：（Ⅰ）在平行四边形 ABCD 中， ∠ADC=60° ， CD=3 ， AD=23 ， 由余弦定理得 AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC=12+3−2×23×3cos60°=9 ， 可得 AC2+CD2=AD2 ，所以 ∠ACD=90° ，即 AC⊥CD ， 又 PA⊥ 底面 ABCD ， CD⊂ 底面 ABCD ，所以 PA⊥CD ， 又 AC∩AP=A 所以 CD⊥ 平面 PCA ， 又 CD⊂ 平面 PCD ，所以平面 PCA⊥ 平面 PCD ． 表面积是 9+93+362 ，体积是 332 （Ⅱ）如图所示，以 A 为坐标原点， AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0) ， B(3,0,0) ， C(0,3,0) ， D(−3,3,0) ， P(0,0,3) ， 设 PE→=λPC→ ， (0≤λ≤1) ， 因为 PC→=(0,3,−3) ， PE→=(0,3λ,−3λ) ， 又因为 BP→=(−3,0,3) ，所以 BE→=BP→+PE→=(−3,3λ,3−3λ) ， 又由平面 ABCD 的一个法向量为 n→=(0,0,1) ， 所以 cos〈BE→,n→〉=BE→⋅n→|BE→|⋅|n→|=3−3λ3+9λ2+(3−3λ)2=22 ， 解得 λ=13 ，即 PE→=13PC→ ， 设平面 ABE 的法向量为 n1→=(x,y,z) ，平面 AED 的法向量为 n2→=(x1,y1,z1) ， 由 AE→=(0,1,2) ， AB→=(3,0,0) ， 因为 n1→⊥AE→ ， n1→⊥AB ，可得 {y+2z=03x=0 ，取 z=1 ，得 n1→=(0,−2,1) ， 同理可得 n2→=(23,2,−1) ， 由 cos〈n→1,n→2〉=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=−5517=−8517 ， 所以平面 ABE 与平面 ADE 夹角的余弦值为 8517 ．

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