题目

已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足an+Sn=2． （1） 求数列{an}的通项公式； （2） 求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 答案： 解：当n=1时，a1+S1=2a1=2，则a1=1．又an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2，两式相减得an+1= 12 an，所以{an}是首项为1，公比为 12 的等比数列，所以an= 12n-1 证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap+1，aq+1，ar+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），则2• 12q = 12p + 12r ，所以2•2r﹣q=2r﹣p+1．① 又因为p＜q＜r，所以r﹣q，r﹣p∈N*．所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证

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