题目

一只红玲虫的产卵数 和温度 有关.现收集了7组观测数据如下表： 温度 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 /个 7 11 21 24 66 115 325 为了预报一只红玲虫在 时的产卵数，根据表中的数据建立了 与 的两个回归模型.模型①：先建立 与 的指数回归方程 ，然后通过对数变换 ，把指数关系变为 与 的线性回归方程： ；模型②：先建立 与 的二次回归方程 ，然后通过变换 ，把二次关系变为 与 的线性回归方程： . （1） 分别利用这两个模型，求一只红玲虫在 时产卵数的预测值； （2） 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据：模型①的残差平方和 ，模型①的相关指数 ；模型②的残差平方和 ，模型②的相关指数 ； ， ， ； ， ， ， ， ， ， ） 答案： 解：当 t=40° 时，根据模型①，得 u^(1)=0.272×40−3.849=7.031 ， y^(1)=e7.031=1131 ，根据模型②，得 y^(2)=0.367×402−202.543=384.657 . 解：模型①得到的预测值更可靠.理由1：因为模型①的残差平方和 Q1=1550.538 小于模型②的残差平方和 Q2=15448.431 ，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2：模型①的相关指数 R12=0.98 大于模型②的相关指数 R22=0.80 ，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3：因为由模型①，根据变换后的线性回归方程 u^(1)=0.272t−3.849 计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程 y^(2)=0.367x−202.543 得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合 y 与 t 的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注：以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）

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