题目

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的运动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．（1）找出S与α之间的函数关系；（2）由得出的函数关系，求S的最大值． 答案：解：（1）如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，DAOA=tan60°=3，所以OA=33DA=33BC=33sinα．所以AB=OB﹣OA=cosα33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα33sinα）sinα=sinαcosα33sin2α=12sin2α+36cos2α﹣36=13（32sin2α+12cos2α）﹣36=33sin（2α+π6）﹣36（0＜α＜π3）．（2）由于0＜α＜π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=33﹣36=36．因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36．

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