题目

在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率是 ，且直线 ： 被椭圆 截得的弦长为 ．（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）若直线 与圆 ： 相切：（i）求圆 的标准方程；（ii）若直线 过定点 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，与圆 交于不同的两点 、 ，求 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由已知得直线 l1 过定点 (a,0) ， (0,b) ， a2+b2=5 ，又 ca=32 ， a2=b2+c2 ，解得 a2=4 ， b2=1 ，故所求椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1 ．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直线 l1 的方程为 x2+y=1 ，即 x+2y−2=0 ，又圆 D 的标准方程为 (x−3)2+(y−2)2=13−m ，∴圆心为 (3,2) ，圆的半径 r=|3+2×2−2|12+22=5 ，∴圆 D 的标准方程为 (x−3)2+(y−2)2=5 ．（ii）由题可得直线 l2 的斜率存在，设 l2 ： y=k(x−3) ，与椭圆 C 的两个交点为 E(x1,y1) 、 F(x2,y2) ，由 {y=k(x+3),x24+y2=1, 消去 y 得 (1+4k2)x2−24k2x+36k2−4=0 ，由 Δ>0 ，得 0≤k2<15 ，x1+x2=24k21+4k2 ， x1x2=36k2−41+4k2 ，∴ |EF|=1+k2[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[(24k21+4k2)2−4×36k2−41+4k2]=4(1+k2)(1−5k2)(1+4k2)2 ．又圆 D 的圆心 (3,2) 到直线 l2 ： kx−y−3k=0 的距离 d=|3k−2−3k|k2+1=2k2+1 ，∴圆 D 截直线 l2 所得弦长 |MN|=2r2−d2=25k2+1k2+1 ，∴ |EF|⋅|MN|=4(1+k2)(1−5k2)(1+4k2)2×25k2+1k2+1=81−25k4(1+4k2)2 ，设 t=1+4k2∈[1,95) ， k2=t−14 ，则 |EF|⋅|MN|=81−25(t−14)2t2=2−9(1t)2+50(1t)−25 ，∵ y=−9x2+50x−25 的对称轴为 x=259 ，在 (59,1] 上单调递增， 0<y≤16 ，∴ 0<−9(1t)2+50(1t)−25≤16 ，∴ 0<|EF|⋅|MN|≤8

查看本题答案和解析