题目

如图所示，半径 的光滑四分之一圆轨道MN竖直固定放置，末端N与一长 的水平传送带相切，水平衔接部分摩擦不计，传动轮（轮半径很小）做顺时针转动，带动传送带以恒定的速度v0运动。传送带离地面的高度 ，其右侧地面上有一直径 的圆形洞，洞口最左端的A点离传送带右端的水平距离 ，B点在洞口的最右端。现使质量为 的小物块从M点由静止开始释放，经过传送带后做平抛运动，最终落入洞中，传送带与小物块之间的动摩擦因数 ，g取10m/s2 ， 求： （1） 小物块到达圆轨道末端N时对轨道的压力； （2） 若 ，求小物块在传送带上运动的时间； （3） 若要使小物块能落入洞中，求v0应满足的条件。 答案： 解：设物块滑到圆轨道末端速度 v1 ，根据机械能守恒定律得 mgR=12mv12 v1=2m/s 设物块在轨道末端所受支持力的大小为F，根据牛顿第二定律得 F−mg=mv12R 联立以上两式代入数据得 F=15N 根据牛顿第三定律，对轨道压力大小为15N，方向竖直向下 解：若 v0=3m/s 则 v1<v0 物块在传送带上加速运动时，由 μmg=ma 得 a=μg=5m/s2 加速到与传送带达到共速所需要的时间 t1=v0−v1a=0.2s 位移 s1=v1+v02t1=0.5m 匀速时间 t2=L−s1v0=0.1s 故 T=t1+t2=0.3s 解：物块由传送带右端平抛 h=12gt2 恰好落到A点 s=v2t 得 v2=2m/s 恰好落到B点 D+s=v3t 得 v3=3m/s 当物块在传送带上一直加速运动时，做平抛运动的速度最大，假设物块在传送带上达到的最大速度为v，由动能定理 μmgL=12mv2−12mv12 得 v2=12m2/s2>9m2/s2 所以物块在传送带上达到的最大速度大于能进入洞口的最大速度，所以 v0 应满足的条件是 2m/s<v0<3m/s

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