题目

如图，直线l： 交x轴、y轴于A、B点，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝12． （1） 写出点A、B、C的坐标； （2） 若直线l沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位长度，与BC、AD分别交于E、F点，当四边形ABEF的面积为24时，求直线EF的表达式以及点F到腰CD的距离； （3） 若B点沿BC方向，从B到C运动，速度为每秒1个单位长度，A点同时沿AD方向，从A到D运动，速度为每秒2个单位长度，经过t秒后，A到达P处，B到达Q处，问：是否存在t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：令x＝0，则y＝4；y＝0，则x＝﹣3． ∴A（﹣3，0），B（0，4），C（6，4）． 解：∵BC∥AD，EF∥AB， ∴四边形ABEF为平行四边形． ∴SABEF＝AF×OB＝4m，又SABEF＝24， ∴m＝6． ∴F（3，0）． 设直线EF的表达式为 y=43x+b ， 则 0=43×3+b ，b＝﹣4， ∴直线EF的表达式为 y=43x−4 ． 过点C作CG⊥AD于G． ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴DG＝OA＝3， 在Rt△CGD中， CD=CG2+DG2=42+32=5 sin∠CDG=CGCD=45 ． 过点F作FH⊥CD于H． 在Rt△FHD中，FD＝AD﹣AF＝12﹣6＝6 FHFD ＝sin∠HDF，即 FH6=45 ， ∴ FH=245 ． 即点F到腰CD的距离为 245 ． 证法二：利用相似可以求得． 过点C作CG⊥AD于G，过点F作FH⊥CD于H． ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴DG＝OA＝3， 在Rt△CGD中， CD=CG2+DG2=42+32=5 ， 在Rt△FHD中，FD＝AD﹣AF＝12﹣6＝6． 由Rt△CGD∽Rt△FHD得 CGFH=CDFD 即 4FH=56 ，∴ FH=245 ，即点F到腰CD的距离为 245 ． 解：过点Q作QK⊥AD于K， 依题意，得 BQ＝t，AP＝2t，PD＝12﹣t，PK＝|t﹣3|，DK＝9﹣t，0≤t＜6． 于是PQ2＝42+（t﹣3）2＝t2﹣6t+25； DQ2＝42+（9﹣t）2＝t2﹣18t+97PD2＝（12﹣2t）2＝4t2﹣48t+144． ①∵∠QDP≤∠CDP， ∴∠QDP不可能为直角． ②若∠DPQ＝90°，则PQ2+PD2＝DQ2，t2﹣6t+25+4t2﹣48t+144＝t2﹣18t+97． 整理得t2﹣9t+18＝0． 解得t＝3或t＝6（舍去）． ③若∠PQD＝90°，则PQ2+DQ2＝PD2，t2﹣6t+25+t2﹣18t+97＝4t2﹣48t+144． 整理得t2﹣12t+11＝0，解得t＝1或t＝11（舍去）． 综上所述，当t＝3或t＝1时，△PQD为直角三角形．

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