题目

已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点（1）求证：直线AF∥平面BEC1（2）求A到平面BEC1的距离． 答案：解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，则△BCC1中，HF∥CC1且HF=12CC1又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=12CC1∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，∴AF∥HE，∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1∴AF∥平面REC1．（2）等边△ABC中，高AF=32AB=3，所以EH=AF=3由三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于3∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1可得S△BEC1·EH=12×42+22×3=15，而S△ABE=12AB×BE=2由等体积法得VA﹣BEC1=VC1﹣BEC，∴13S△BEC1·d=13S△ABE×3，（d为点A到平面BEC1的距离）即13×15×d=13×2×3，解之得d=255∴点A到平面BEC1的距离等于255．

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