题目

如图 定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n.理解：如点C是AB的中点时，即AC＝ AB，则dC﹣AB＝ ；反过来，当dC﹣AB＝ 时，则有AC＝ AB.因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义. 应用： （1） 如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝ ，则AC＝AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝； （2） 已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts. ①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB ， 并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝ ？ 拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B.且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB. 答案： 【1】23【2】34 解：①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s， ∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm， ∴dP﹣AB＝ t10 ，dQ﹣AB＝ 10−t10 ， ∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝ t+10−t10 ＝1； ②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s， ∴AP＝tcm， 当t＜5时，AQ＝（10﹣2t）cm， ∴dP﹣AB＝ t10 ，dQ﹣AB＝ 10−2t10 ， ∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝ 35 ，∴ t10+10−2t10 ＝ 35 ，解得t＝4； 当t≥5时，AQ＝（2t﹣10）cm， ∴dP﹣AB＝ t10 ，dQ﹣AB＝ 2t−1010 ， ∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝ 35 ，∴ t10+2t−1010 ＝ 35 ，解得t＝ 163 ； 综上所述，t＝4或 163 ； 拓展：设运动时间为t， ∵点P、Q同时到达点B，AB=12，AC+BC=20， ∴点P的速度:点Q速度＝3:5， 设点P的速度为3x，点Q速度为5x， ∴dP﹣AB＝n＝ 3xt12 ，dQ﹣CB＝ 5xt−128 ， ∴xt=4n， ∴dQ﹣CB＝ 5×4n−128 ＝ 5n−32 .

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