题目

如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB＝10，tan∠DAB＝ ，抛物线经过点B、C、D． （1） 求抛物线的解析式； （2） 直线EF与BC平行，与抛物线只有一个交点，求直线EF解析式； （3） 抛物线对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在直接写出P点坐标，若不存在说明理由． 答案： 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，BC＝AB＝10， ∴∠DAB＝∠CBO， ∴tan∠DAB＝tan∠CBO＝ OCOB ＝ 43 ， ∵BC＝10， ∴CO＝8，BO＝6， ∴B（﹣6，0），C（0，8），D（﹣10，8）． 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵抛物线经过点B、C、D， ∴ {36a−6b+c=0c=8100a−10b+c=8 ，解得： {a=13b=103c=8 ， ∴抛物线的解析式为y＝ 13 x2+ 103 x+8； 解：设直线BC的解析式为y＝mx+n， 代入B、C点，解得： {m=43n=8 ∴y＝ 43 x+8． ∵EF∥BC， ∴设直线EF解析式为y＝ 43 x+t， 又∵直线EF与抛物线只有一个交点， ∴ 13 x2+ 103 x+8＝ 43 x+t只有一个解，△＝0， 解得：t＝5， ∴直线EF解析式为 43 x+5； 解：∵y＝ 13 x2+ 103 x+8＝ 13 （x+5）2﹣ 13 ， ∴对称轴为直线x＝﹣5． 设抛物线的对称轴上存在点P（﹣5，y），使△PBC是以BC为腰的等腰三角形． B（﹣6，0），C（0，8），BC＝10． 分两种情况： ①如果CP＝CB，那么52+（y﹣8）2＝100，解得y＝8±5 3 ； ②如果BP＝BC时，那么（﹣5+6）2+（y﹣0）2＝100，解得y＝±3 11 ． 故抛物线对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为（﹣5，8+5 3 ）或（﹣5，8﹣5 3 ）或（﹣5，3 11 ）或（﹣5，﹣3 11 ）．

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