题目

已知抛物线 的焦点为点 ， 为 上一点，若点 到原点的距离与点 到点 的距离都是 ． （1） 求 的标准方程； （2） 动点 在抛物线 上，且在直线 的右侧，过点 作椭圆 的两条切线分别交直线 于 ， 两点．当 时，求点 的坐标． 答案： 解：设 A(x0,y0) ，因此有 y02=2px0 ，抛物线的准线为： x=−p2 则 {x0−(−p2)=32x02+2px0=94 ，解得 p=2 （负值舍去）， 所以 C 的标准方程为 y2=4x ； 不妨设 kMA=k1 ， kMB=k2 ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， M(t2,2t)(t>2) ． 设过点 M 作椭圆的切线方程为 y=k(x−t2)+2t ，① 由 {y=k(x−t2)+2t3x2+4y2=12 ，得 (3+4k2)x2+8k(2t−t2k)x +4(2t−t2k)2−12=0 ， 由 Δ=0 得 (t4−4)k2−4t3k+4t2−3=0 ， 所以 k1+k2=4t3t4−4 ， k1k2=4t2−3t4−4 ， 在①中令 x=−2 得， y=−(t2+2)k+2t ， ∴|AB|=|y1−y2|=(t2+2)|k1−k2|= (t2+2)23t4+16t2−12|t4−4|=10 ， 解得 t2=4 ，点 M 的坐标为 (4,±4) ．

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