题目

已知函数 ， . (Ⅰ)若 ，解不等式 ； (Ⅱ)设 是函数 的四个不同的零点，问是否存在实数 ，使得其中三个零点成等差数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由. 答案：解：（Ⅰ） f(x)={x2−2ax+2,x≥2ax2−2,x<2a ①当 x<2a 时， f(x)<0 即 x2−2<0      得 −2<x<2    若 2a>2   即 0<a≤2 时，不等式解集为 {x|−2<x<2} 若 2a<2   即 2<a<2 时，不等式解集为 {x|−2<x<2a} ②当 x≥2a 时， f(x)<0 即 x2−2ax+2<0  若 Δ=4a2−8≤0    即 0<a≤2 时， f(x)<0 无解 若 Δ=4a2−8>0    即 2<a≤2 时  由 f(x)<0 得 a−a2−2<x<a+a2−2 ， 又 ∵a+a2−2>2>2a ， a−a2−2=2a+a2−2<2a ∴ 不等式解集为 {x|2a≤x<a+a2−2} 综上（1）（2）可知    当 0<a≤2 时，不等式的解集为 {x|−2<x<2}  当 2<a<2 时，不等式的解集为 {x|−2<x<a+a2−2} （Ⅱ） f(x)+1={x2−2ax+3,x≥2ax2−1,x<2a ， ∵f(x)+1=0 有4个不同零点 ∴Δ=4a2−12>0且2a>1 ， ∴3<a<2 不妨设 x1<x2<x3<x4 ，则 x1=−1,x2=1 ①若 x1,x2,x3 成等差数列，则 x3=3 ，此时 a=2,x4=1 ，不合题意 ②若 x1,x2,x4 成等差数列，同①知不合题意 ③若 x1,x3,x4 成等差数列，则 {2x3=−1+x4x3+x4=2a ， ∴x3=2a−13 ∴(2a−13)2−2a×2a−13+3=0  ， ∴4a2−a−14=0 ∴a=2或a=−74 均舍去 ④若 x2,x3,x4 成等差数列，则 {2x3=1+x4x3+x4=2a ∴x3=2a+13 ∴(2a+13)2−2a×2a+13+3=0 ∴4a2+a−14=0 ， ∴a=74 或 a=2 （舍去） 综上可知：存在 a=74 符合题意.

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