题目

如图（1）所示， 是 中 边上的高线，且 ，将 沿 翻折，使得平面 平面 ，如图（2）. （1） 求证： ； （2） 图（2）中， 是 上一点，连接 ､ ，当 与底面 所成角的正切值为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：由图（1）知，在图（2）中， AC⊥AD ， AB⊥AD ， ∵平面 ACD⊥ 平面 ABD ，平面 ACD∩ 平面 ABD=AD ， AB⊂ 平面 ABD ， ∴ AB⊥ 平面 ACD ，又 CD⊂ 平面 ACD ，∴ AB⊥CD 解：以 A 为原点， AC ， AB ， AD 所在的直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间坐标系， 设 AC=1 ，则 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C(1,0,0) ， D(0,0,1) ， 设 E(x,y,z) ，由 DE→=λDB→(0<λ<1) ，得 (x,y,z−1)=(0,2λ,−λ) ，得 E(0,2λ,1−λ) ， ∴ AE→=(0,2λ,1−λ) ， ∵ 平面 ABC 的一个法向量为 AD→=(0,0,1) ， 由 AE 与底面 ABC 所成角的正切值为 12 ，可得 tan<AD→,AE→>=2 ， 于是 cos<AD→,AE→>=15 ，即 1−λ(2λ)2+(1−λ)2=15 ，解得 λ=12 ， 则 E(0,1,12) ， AE→=(0,1,12) ， BC→=(1,−2,0) ， BE→=(0,−1,12) ， 设平面 BCE 的法向量 n→=(x,y,z) ，则 {n⇀⋅BC⇀=0n⇀⋅BE⇀=0 ，即 {x−2y=0−y+12z=0 ， 令 y=1 ，得 x=2 ， z=2 ，则 n→=(2,1,2) 是平面 BCE 的一个法向量， 设直线 AE 与平面 BCE 所成的角是 θ ， 则 sinθ=|cos<AE→,n→|=|AE→⋅n→||AE→||n→|=252×3=4515 ， 故直线 AE 与平面 BCE 所成角的正弦值为 4515

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