题目

已知函数 . （1） 讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2） 设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0 ， ln x0)处的切线也是曲线 的切线. 答案： 解： f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）= 1−e+1e−1<0 ， f(e2)=2−e2+1e2−1=e2−3e2−1>0 ， 所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 又 0<1x1<1 ， f(1x1)=−lnx1+x1+1x1−1=−f(x1)=0 ， 故f（x）在（0，1）有唯一零点 1x1 ． 综上，f（x）有且仅有两个零点． 因为 1x0=e−lnx0 ，故点B（–lnx0， 1x0 ）在曲线y=ex上． 由题设知 f(x0)=0 ，即 lnx0=x0+1x0−1 ， 故直线AB的斜率 k=1x0−lnx0−lnx0−x0=1x0−x0+1x0−1−x0+1x0−1−x0=1x0 ． 曲线y=ex在点 B(−lnx0,1x0) 处切线的斜率是 1x0 ，曲线 y=lnx 在点 A(x0,lnx0) 处切线的斜率也是 1x0 ， 所以曲线 y=lnx 在点 A(x0,lnx0) 处的切线也是曲线y=ex的切线．

查看本题答案和解析